線形代数例

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 + 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$0.1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$0.3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(0.8 - λ) | \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (0.8 - λ) | \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} | + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) | \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} | + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$| \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (0.8 - λ) ((0.5 - λ) (0.7 - λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(0.5 - λ) (0.7 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.5 (0.7 - λ) - λ (0.7 - λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.5 \cdot 0.7 + 0.5 (- λ) - λ (0.7 - λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.5 \cdot 0.7 + 0.5 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.1

$0.5$ に $0.7$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 + 0.5 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.2

$- 1$ に $0.5$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.3

$0.7$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ + 1 λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ + λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

$- 0.5 λ$ から $0.7 λ$ を引きます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.3

$- 0.3$ に $0.1$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.03) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.2

$0.35$ から $0.03$ を引きます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (- 1.2 λ + λ^{2} + 0.32) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.3

$- 1.2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.2 \cdot 0.1 - (0.5 - λ) \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$0.2$ に $0.1$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - (0.5 - λ) \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 1 \cdot 0.5 - - λ) \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$- 1$ に $0.5$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 0.5 - - λ) \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- - λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 0.5 + 1 λ) \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2.1.4.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 0.5 + λ) \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - 0.5 \cdot 0.2 + λ \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2.1.6

$- 0.5$ に $0.2$ をかけます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - 0.1 + λ \cdot 0.2)$

ステップ 1.5.4.2.1.7

$0.2$ を $λ$ の左に移動させます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - 0.1 + 0.2 λ)$

ステップ 1.5.4.2.2

$0.02$ から $0.1$ を引きます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (- 0.08 + 0.2 λ)$

ステップ 1.5.4.2.3

$- 0.08$ と $0.2 λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$(0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32)$ を展開します。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} + 0.8 (- 1.2 λ) + 0.8 \cdot 0.32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.1

$- 1.2$ に $0.8$ をかけます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.8 \cdot 0.32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.2

$0.8$ に $0.32$ をかけます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - (λ^{2} λ) - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{2 + 1} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 1 \cdot - 1.2 λ \cdot λ - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 1 \cdot - 1.2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 1 \cdot - 1.2 λ^{2} - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.6

$- 1$ に $- 1.2$ をかけます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} + 1.2 λ^{2} - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.2.7

$0.32$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} + 1.2 λ^{2} - 0.32 λ + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.3

$0.8 λ^{2}$ と $1.2 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 0.32 λ + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.4

$- 0.96 λ$ から $0.32 λ$ を引きます。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

ステップ 1.5.5.2.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.2 (0.2 λ) + 0.2 \cdot - 0.08$

ステップ 1.5.5.2.6

$0.2$ に $0.2$ をかけます。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.04 λ + 0.2 \cdot - 0.08$

ステップ 1.5.5.2.7

$0.2$ に $- 0.08$ をかけます。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.04 λ - 0.016$

ステップ 1.5.5.3

$- 1.28 λ$ と $0.04 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.24 λ + 0.256 - λ^{3} - 0.016$

ステップ 1.5.5.4

$0.256$ から $0.016$ を引きます。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.24 λ - λ^{3} + 0.24$

ステップ 1.5.5.5

$- 1.24 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 2 λ^{2} - λ^{3} - 1.24 λ + 0.24$

ステップ 1.5.5.6

$2 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 2 λ^{2} - 1.24 λ + 0.24$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 2 λ^{2} - 1.24 λ + 0.24 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$λ = \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, 1$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{2}{5}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - \frac{2}{5} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- \frac{2}{5}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- \frac{2}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- \frac{2}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 (\frac{2}{5}) \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- \frac{2}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6

$- \frac{2}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 (\frac{2}{5}) \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7

$- \frac{2}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8

$- \frac{2}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 0.8 - \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$0.8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 0.8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$0.8$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5 - 2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.4.1

$0.8$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{4 - 2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.2

$4$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$2$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.5.1

$2$ を $1 (2)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 (2)}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.5.2.1

$5$ を $1 (5)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

$0.5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10

$0.5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.11

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5 - 2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.12.1

$0.5$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{2.5 - 2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.12.2

$2.5$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13

$0.5$ を $5$ で割ります。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.14

$0.1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.15

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.16

$0.3$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.17

$0.7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.18

$0.7$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.19

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5 - 2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.20.1

$0.7$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{3.5 - 2}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.20.2

$3.5$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{1.5}{5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.21

$1.5$ を $5$ で割ります。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = \frac{2}{5}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} & \frac{5}{2} \cdot 0.2 & \frac{5}{2} \cdot 0.2 & \frac{5}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.3 - 0.2 (\frac{1}{2}) & 0.3 - 0.2 (\frac{1}{2}) & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{0}{0.1} & \frac{0.1}{0.1} & \frac{0.1}{0.1} & \frac{0}{0.1} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - z \\ z \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3}{5}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- \frac{3}{5}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- \frac{3}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2.2

$0$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- \frac{3}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 (\frac{3}{5}) \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$0$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- \frac{3}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4.2

$0$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$- \frac{3}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 (\frac{3}{5}) \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6.2

$0$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$- \frac{3}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7.2

$0$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$- \frac{3}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8.2

$0$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 0.8 - \frac{3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$0.8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 0.8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$0.8$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5}{5} - \frac{3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5 - 3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

$0.8$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{4 - 3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.2

$4$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$1$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1

$1$ を $1 (1)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 (1)}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.2.1

$5$ を $1 (5)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$0.5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10

$0.5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5}{5} - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5 - 3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.12.1

$0.5$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{2.5 - 3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12.2

$2.5$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{- 0.5}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13

$- 0.5$ を $5$ で割ります。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.14

$0.1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.15

$0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.16

$0.3$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.17

$0.7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.18

$0.7$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5}{5} - \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.19

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5 - 3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.20.1

$0.7$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{3.5 - 3}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.20.2

$3.5$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.5}{5} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.21

$0.5$ を $5$ で割ります。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3}{5}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 (\frac{1}{5}) & 5 \cdot 0.2 & 5 \cdot 0.2 & 5 \cdot 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.3 - 0.2 \cdot 1 & 0.1 - 0.2 \cdot 1 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.1 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ \frac{0}{- 0.1} & \frac{- 0.1}{- 0.1} & \frac{0.1}{- 0.1} & \frac{0}{- 0.1} \\ 0 & 0.1 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0.1 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.1 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.1 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 0.1 \cdot 0 & 0.1 - 0.1 \cdot 1 & - 0.1 - 0.1 \cdot - 1 & 0 - 0.1 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 2 z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 z \\ z \\ z \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

対応する要素を引きます。

$[\begin{array}{c} 0.8 - 1 & 0.2 - 0 & 0.2 - 0 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0.8$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 - 0 & 0.2 - 0 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.2

$0.2$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 - 0 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.3

$0.2$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.4

$0$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.5

$0.5$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.6

$0.1$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.7

$0.2$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.8

$0.3$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.2.9

$0.7$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 \end{array}]$

ステップ 5.3

Find the null space when $λ = 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.2}{- 0.2} & \frac{0.2}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.3 - 0.2 \cdot - 1 & - 0.3 - 0.2 \cdot - 1 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.5 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{- 0.5} & \frac{- 0.5}{- 0.5} & \frac{0.1}{- 0.5} & \frac{0}{- 0.5} \\ 0 & 0.5 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 - 0.5 \cdot 0 & 0.5 - 0.5 \cdot 1 & - 0.1 - 0.5 \cdot - 0.2 & 0 - 0.5 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 - 0.2 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1.2 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 1.2 z = 0$

$y - 0.2 z = 0$

$0 = 0$

ステップ 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1.2 z \\ 0.2 z \\ z \end{array}]$

ステップ 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例